Два решения одной задачи:
классика и векторы

Из семнадцати номеров второй части (№34–50) векторный метод выигрывает разгромно ровно в двух: №37 и №47. Ниже каждая решена дважды — сначала обычными средствами школьной геометрии, затем векторами, — чтобы разница была видна не на словах.

№37 · параллелепипед
№47 · медианы

Прямоугольный параллелепипед

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на диагонали $BD_1$ отмечена точка $N$ так, что $BN:ND_1=1:2$. Точка $O$ — середина отрезка $CB_1$.

а) Докажите, что прямая $NO$ проходит через точку $A$.

б) Найдите объём параллелепипеда, если длина отрезка $NO$ равна расстоянию между прямыми $BD_1$ и $CB_1$ и равна $\sqrt6$.

Жирным — отрезок $AO$; он проходит через $N$, это и требуется доказать. Одинарные штрихи на $CB_1$ отмечают равенство $CO=OB_1$, цифры на $BD_1$ — отношение $1:2$.

Способ 1Классический: сечение и медианы

Всё держится на одном наблюдении: точки $A$, $B$, $N$, $O$, $C_1$, $D_1$ лежат в одной плоскости, и в ней задача становится плоской.

Отрезки $AB$ и $D_1C_1$ параллельны и равны (оба параллельны и равны $DC$), значит $ABC_1D_1$ — плоский четырёхугольник, притом параллелограмм. Более того, $AB\perp AD_1$ (ребро $AB$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$), так что $ABC_1D_1$ — прямоугольник.
Точка $O$ — середина $CB_1$, то есть точка пересечения диагоналей грани $BCC_1B_1$. Значит $O$ — середина и второй диагонали, отрезка $BC_1$, а $BC_1$ — сторона нашего прямоугольника.
Рассмотрим треугольник $ABC_1$. Отрезок $AO$ — его медиана, потому что $O$ — середина $BC_1$.
Диагональ $BD_1$ прямоугольника проходит через его центр $P$ — середину $AC_1$. Значит луч $BD_1$ содержит медиану $BP$ треугольника $ABC_1$, причём $BP=\tfrac12 BD_1$.
По условию $BN=\tfrac13 BD_1=\tfrac23 BP$: точка $N$ делит медиану $BP$ в отношении $2:1$, считая от вершины. Это точка пересечения медиан треугольника $ABC_1$.
Точка пересечения медиан лежит на каждой медиане, в том числе на $AO$. Значит $A$, $N$, $O$ лежат на одной прямой, то есть прямая $NO$ проходит через $A$. ∎

Попутно получено $AN:NO=2:1$ — дальше пригодится.

Тот же чертёж, но сечение $ABC_1D_1$ показано в натуральную величину — прямоугольник со сторонами $AB$ и $BC_1$. В треугольнике $ABC_1$ отрезки $AO$ и $BP$ — медианы, и точка $N$ стоит ровно там, где они пересекаются.

Пункт б)

Обозначим $a=AB$, $b=AD$, $c=AA_1$. Отрезок $NO$ соединяет точку прямой $BD_1$ с точкой прямой $CB_1$; длина такого отрезка равна расстоянию между прямыми только тогда, когда он — их общий перпендикуляр. По условию так и есть, значит

$$NO\perp BD_1\quad\text{и}\quad NO\perp CB_1 .$$

А прямая $NO$ — это, по пункту а), прямая $AO$. Разберём оба условия по отдельности.

Слева — треугольник $ACB_1$: медиана $AO$ оказалась высотой, значит треугольник равнобедренный. Справа — треугольник $ABD_1$ с прямым углом при $A$ и высотой $AN$, опущенной на гипотенузу; $BN$ — проекция катета $AB$.

Из $AO\perp CB_1$. В треугольнике $ACB_1$ отрезок $AO$ — медиана ($O$ — середина $CB_1$) и одновременно высота. Так бывает только в равнобедренном треугольнике, поэтому $AC=AB_1$, то есть $a^2+b^2=a^2+c^2$ и $b=c$.
Из $AN\perp BD_1$. Ребро $AB$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$, значит $AB\perp AD_1$ и треугольник $ABD_1$ прямоугольный. Отрезок $AN$ — высота из прямого угла, а $BN$ — проекция катета $AB$ на гипотенузу, поэтому $AB^2=BN\cdot BD_1$. Подставляем $BN=\tfrac13BD_1$ и $BD_1^2=a^2+b^2+c^2$: $$a^2=\frac{BD_1^2}{3}=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ \Longrightarrow\ 2a^2=b^2+c^2 .$$ Вместе с $b=c$ это даёт $a=b=c$: параллелепипед оказался кубом.

В кубе с ребром $a$ все три отрезка $AC$, $AB_1$, $CB_1$ — диагонали граней, то есть треугольник $ACB_1$ равносторонний со стороной $a\sqrt2$, а $AO$ — его высота:

$$AO=a\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt6}{2},\qquad NO=\frac13AO=\frac{a\sqrt6}{6}=\sqrt6\ \Longrightarrow\ a=6 .$$ $$V=a^3=216 .$$

Способ 2Векторный: рёбра как оси

Параллелепипед прямоугольный, поэтому рёбра $AB$, $AD$, $AA_1$ попарно перпендикулярны — готовая система координат. Пусть $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;b;0)$, $D(0;b;0)$, а верхние вершины отличаются координатой $z=c$.

$$\vec N=\vec B+\tfrac13\left(\vec D_1-\vec B\right)=\left(\tfrac{2a}{3};\ \tfrac b3;\ \tfrac c3\right), \qquad \vec O=\tfrac12\left(\vec C+\vec B_1\right)=\left(a;\ \tfrac b2;\ \tfrac c2\right).$$

Пункт а)

Оба радиус-вектора выражаются через один и тот же вектор $\vec u=(2a;\,b;\,c)$:

$$\vec N=\tfrac13\,\vec u,\qquad \vec O=\tfrac12\,\vec u .$$

Значит $\overrightarrow{AN}$ и $\overrightarrow{AO}$ коллинеарны и отложены от общей точки $A$ — точки $A$, $N$, $O$ лежат на одной прямой. ∎ Отношение $AN:AO=\tfrac13:\tfrac12=2:3$ читается прямо из коэффициентов.

Пункт б)

$\overrightarrow{NO}=\vec O-\vec N=\tfrac16\vec u$, а условие «общий перпендикуляр» — это два скалярных произведения, равных нулю:

$$\overrightarrow{BD_1}=(-a;\,b;\,c),\qquad \overrightarrow{CB_1}=(0;\,-b;\,c),$$ $$\begin{cases}\vec u\cdot\overrightarrow{BD_1}=-2a^2+b^2+c^2=0,\\[4pt] \vec u\cdot\overrightarrow{CB_1}=-b^2+c^2=0 .\end{cases}$$

Из второго уравнения $b=c$, из первого тогда $2a^2=2b^2$, то есть $a=b=c$. Осталась длина:

$$NO=\frac16\left|\vec u\right|=\frac16\sqrt{4a^2+b^2+c^2}=\frac{a\sqrt6}{6}=\sqrt6 \ \Longrightarrow\ a=6,\qquad V=abc=216 .$$

Ответб) $V=216$.

Что дал вектор Классическое решение пункта б) требует вспомнить два разных факта — «медиана равна высоте только в равнобедренном» и метрическое соотношение $AB^2=BN\cdot BD_1$ в прямоугольном треугольнике, — и до этого ещё догадаться рассмотреть треугольники $ACB_1$ и $ABD_1$. У вектора обе догадки заменены одной строкой: перпендикулярность — это $\vec u\cdot\vec v=0$, и система из двух уравнений решается устно.

Шестиугольник на медианах

Медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Точки $A_2$, $B_2$, $C_2$ — середины отрезков $MA$, $MB$, $MC$.

а) Докажите, что площадь шестиугольника $A_1B_2C_1A_2B_1C_2$ вдвое меньше площади треугольника $ABC$.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если $AB=5$, $BC=8$, $AC=10$.

Чертёж построен по настоящим данным пункта б): $AB=5$, $BC=8$, $AC=10$. Медианы показаны пунктиром, шестиугольник $A_1B_2C_1A_2B_1C_2$ залит серым; он центрально симметричен относительно $M$.

Способ 1Классический: шесть частей и средние линии

Пункт а)

Медианы разбивают треугольник на шесть треугольников с общей вершиной $M$, и все шесть равновелики. Действительно, $S_{ABM}=S_{BCM}=S_{CAM}=\tfrac13 S$ (медиана делит треугольник пополам, а точка $M$ делит каждую медиану в отношении $2:1$), и каждый из этих трёх сам делится медианой пополам: например, у треугольников $MBA_1$ и $MA_1C$ равные основания $BA_1=A_1C$ и общая высота из $M$. Значит площадь каждой из шести частей равна $\tfrac{S}{6}$.

Шестиугольник тоже разрезается отрезками из $M$ на шесть треугольников, и каждый из них занимает ровно половину своей части. Возьмём, скажем, $MA_1B_2$ внутри $MA_1B$: угол при $M$ общий, сторона $MA_1$ общая, а $MB_2=\tfrac12MB$, поэтому

$$S_{MA_1B_2}=\tfrac12\,S_{MA_1B}=\tfrac12\cdot\frac{S}{6}=\frac{S}{12}.$$

Так же устроены все шесть, поэтому $S_6=6\cdot\dfrac{S}{12}=\dfrac{S}{2}$. ∎

Пункт б)

Каждая сторона шестиугольника — средняя линия одного из треугольников $ABM$, $BCM$, $CAM$.

Треугольник $BMC$, вырезанный из чертежа выше. Точки $B_2$, $A_1$, $C_2$ — середины его сторон, поэтому $B_2A_1=\tfrac12MC$ и $A_1C_2=\tfrac12BM$. Две другие пары сторон шестиугольника получаются так же из треугольников $ABM$ и $CAM$.

в треугольнике $BMC$: $A_1B_2=\tfrac12MC$ и $C_2A_1=\tfrac12BM$;
в треугольнике $ABM$: $B_2C_1=\tfrac12AM$ и $C_1A_2=\tfrac12BM$;
в треугольнике $CAM$: $A_2B_1=\tfrac12MC$ и $B_1C_2=\tfrac12AM$.

Каждая из трёх длин $\tfrac12AM$, $\tfrac12BM$, $\tfrac12CM$ встречается ровно дважды, поэтому

$$\sum\text{сторон}^2=2\cdot\frac{AM^2+BM^2+CM^2}{4}=\frac{AM^2+BM^2+CM^2}{2}.$$

Отрезки от вершин до $M$ — это $\tfrac23$ медиан, а квадрат медианы считается по формуле $m_a^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$. Складывая три такие формулы, получаем $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\tfrac34\left(a^2+b^2+c^2\right)$, значит

$$AM^2+BM^2+CM^2=\frac49\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)=\frac49\cdot\frac34\left(a^2+b^2+c^2\right) =\frac{a^2+b^2+c^2}{3}.$$ $$\frac{25+64+100}{3}=\frac{189}{3}=63,\qquad \sum\text{сторон}^2=\frac{63}{2}=31{,}5 .$$

Способ 2Векторный: начало в точке пересечения медиан

Поместим начало в $M$ и обозначим $\vec a=\overrightarrow{MA}$, $\vec b=\overrightarrow{MB}$, $\vec c=\overrightarrow{MC}$. Единственное, что нужно знать о точке пересечения медиан:

$$\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0 .$$

Отсюда все шесть вершин шестиугольника выражаются мгновенно. Середина стороны $BC$:

$$\overrightarrow{MA_1}=\frac{\vec b+\vec c}{2}=-\frac{\vec a}{2},\qquad \overrightarrow{MB_1}=-\frac{\vec b}{2},\qquad \overrightarrow{MC_1}=-\frac{\vec c}{2},$$ $$\overrightarrow{MA_2}=\frac{\vec a}{2},\qquad \overrightarrow{MB_2}=\frac{\vec b}{2}, \qquad \overrightarrow{MC_2}=\frac{\vec c}{2}.$$

Шесть вершин — это $\pm\tfrac12\vec a$, $\pm\tfrac12\vec b$, $\pm\tfrac12\vec c$: центральная симметрия шестиугольника видна сразу, её не надо доказывать отдельно.

Пункт а)

Площадь треугольника с вершинами $0$, $\vec u$, $\vec v$ равна $\tfrac12\left|\vec u\times\vec v\right|$, где $\vec u\times\vec v$ — векторное произведение. Для векторов плоскости у него ненулевая только одна координата, перпендикулярная плоскости:

$$(x_1;\,y_1;\,0)\times(x_2;\,y_2;\,0)=(0;\,0;\,x_1y_2-x_2y_1),$$

поэтому для плоских векторов векторное произведение сводится к одному числу $x_1y_2-x_2y_1$. Так как $\vec c=-\vec a-\vec b$, все три произведения совпадают:

$$\vec a\times\vec b=\vec b\times\vec c=\vec c\times\vec a .$$

Шестиугольник разбивается на шесть треугольников с вершиной $M$, у каждого стороны — половинки двух разных векторов, поэтому все шесть равновелики:

$$S_6=6\cdot\frac12\left|\frac{\vec a}{2}\times\frac{\vec b}{2}\right|=\frac34\left|\vec a\times\vec b\right|,$$ $$S_{ABC}=\frac12\left|\left(\vec b-\vec a\right)\times\left(\vec c-\vec a\right)\right| =\frac12\cdot3\left|\vec a\times\vec b\right|=\frac32\left|\vec a\times\vec b\right| .$$

Отношение равно $\tfrac12$. ∎

Пункт б)

Стороны шестиугольника — разности соседних вершин, и каждая снова сворачивается к одному вектору:

$$\overrightarrow{A_1B_2}=\frac{\vec a+\vec b}{2}=-\frac{\vec c}{2},\qquad \overrightarrow{B_2C_1}=-\frac{\vec b+\vec c}{2}=\frac{\vec a}{2},\qquad \overrightarrow{C_1A_2}=\frac{\vec a+\vec c}{2}=-\frac{\vec b}{2},$$

а следующие три стороны — те же векторы с обратным знаком. Значит

$$\sum\text{сторон}^2=2\cdot\frac{\left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2+\left|\vec c\right|^2}{4} =\frac{\left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2+\left|\vec c\right|^2}{2}.$$

С другой стороны, стороны треугольника — это $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$, $\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b$, $\overrightarrow{CA}=\vec a-\vec c$, поэтому

$$AB^2+BC^2+CA^2=2\left(\left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2+\left|\vec c\right|^2\right) -2\left(\vec a\vec b+\vec b\vec c+\vec c\vec a\right) =3\left(\left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2+\left|\vec c\right|^2\right).$$ $$\left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2+\left|\vec c\right|^2=\frac{25+64+100}{3}=63, \qquad \sum\text{сторон}^2=\frac{63}{2}=31{,}5 .$$

Ответб) $31{,}5$.

Что дал вектор Классическое решение честное, но каждый его шаг — отдельная работа: шесть равновеликих треугольников, потом шесть средних линий поимённо, потом формула медианы, которую надо помнить наизусть. Векторное держится на одном равенстве $\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$: из него сразу выпадают и координаты всех шести вершин, и центральная симметрия, и оба пункта, причём формула медианы выводится попутно одной строкой.